学霸的黑科技系统|第1127章 霍奇猜想的新思路

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  大概是在年初那会儿,陆舟还没有将陈阳从燕大数学中心挖来的时候,这位陈教授便在研究霍奇猜想了。

  陆舟还记得,当时他在黑板上研究自己的超椭圆曲线分析法,并且用了一种非常巧妙的方法,将这个原本为准黎曼猜想设计的数学工具,改进之后直接运用在了对非奇异复代数簇的代数拓扑,以及其定义子簇的多项式方程所表述的几何关联问题的研究上。

  当初也正是因为这一手漂亮的操作,让陆舟不禁动了爱才之心,将他从燕大数学中心挖到了金陵这边来。

  现在已经过去快一年了,关于霍奇猜想的课题仍然没有丝毫的进展,再加上前段时间一直在忙代数几何统一理论的事情,以至于陆舟都快把这件事给忘了。

  “走,去我办公室说。”

  带着陈阳来到了自己的办公室,陆舟亲自去墙角帮他拖来了一张白板,并且将自己的记号笔递到了他的手上。

  没有将时间浪费在客套上,接过了笔之后,站在白板前的陈阳思索了片刻,首先在白板上随手画了个圆,然后在旁边标记了S,并写下了一行表达式。

  “……对于紧致无边的曲面S,其Gauss曲率K可以在整个曲面上进行积分。”

  一边写着,陈阳一边继续说道。

  “众所周知的是,一个曲面不一定只容有一个度量,所以我尝试对S的度量进行了更换。在更换了度量之后,相应的Gauss曲率K同样也会发生改变,但积分值却与曲面的度量无关,而只与曲面的Euler示性数X(S)有关,利用这一性质,我们可以——”

  看着白板上的算式,陆舟眉毛轻轻抬了下,饶有兴趣地说道。

  “Gauss-Bonnet公式?”

  手中的笔停住,陈阳点了下头说道。

  “正是。”

  说罢,他将Gauss-Bonnet公式写了上去。

  看到这画龙点睛的一笔,陆舟的脸上感兴趣的神色愈发浓烈了。

  事实上,他大概已经猜到,陈阳是打算干什么了。

  根据高维黎曼流形M的性质,Gauss曲率可以推广为截面曲率,它的值可以由黎曼曲率的张量决定。至于其被积函数,则是由曲率张量组成的很复杂的代数式——即Gauss-Bonnet被积函数。

  至于其在整个流形上的积分,则是由这个流形的Euler示性数X(M)所决定。

  利用这些性质,便能够将Hodge理论推广到完备非紧流形中。

  这些深刻的数学意义,是由陈省身教授得到的,也就是著名的Gauss–Bonnet–陈公式中的数学内涵。

  再结合阿提亚爵士的L2上同调方法,沿着这条思路继续走下去,搞不好还真能把这个猜想给证出来。

  当然,具体该如何证明,还需要深入研究一下就是了。

  想到这里,陆舟赞许地点头。

  秒啊。

  实在是妙。

  不知何时,陈阳的背后已经站了一圈人。

  早在他刚刚开始板书的时候,办公室里的人便注意到了这边。

  盯着白板上的算式,季默两眼发光,激动的小声说道:“这,难道就是传说中的——”

  见自己师弟说话又只说了一半,何昌文皱了下眉头,低声道:“到底是啥,别卖关子。”

  季默奇怪地看了他一眼。

  “霍奇猜想啊!很明显嘛。”

  何昌文:“……”

  这特么哪里明显了?!

  不过仔细一看,好像确实是这样。

  想到这里,何昌文不禁在心中安慰了自己一句。

  嗯,如果认真看的话,他应该也是能看出来的。

  白板上的笔停下了,陈阳陷入了沉思。

  显然,这条思路他只走到了一半,后面该怎么走还没有很好的想法。

  不知何时来的办公室,站在旁边一直沉默不语的佩雷尔曼教授,忽然开口说道。

  “这条思路看起来有点意思。”

  回头看向了佩雷尔曼教授,陈阳微微愣了下,有些意外地说道。

  “您是什么时候过来的?”

  “大概在你写到一半的时候……本来我是来找陆教授的,没想到在这里还有意外收获,”停顿了一下,佩雷尔曼继续说,“……可以给我用下笔吗?”

  没有任何的犹豫,陈阳果断将手中的记号笔让了出来。

  从陈教授的手中接过了笔,站在白板前的佩雷尔曼沉思了片刻,随后在他的算式下面空了几行,继续写了起来。

  “既然有现成的代数几何统一理论可以运用,式(3)的证明我就省略了。”

  “……我的建议是,对于之后部分的证明,我们可以将紧流形M问题提升到它的通用复盖流形上,得到完备非紧流形M。”

  “根据阿提亚的定理,如果我们能在截面曲率的条件下证明除了中间的L2同调群其余都为零……”

  说着,他手中的笔轻轻抖了一下,很快写下了一行简洁而优美的算式。

  【H^n(M)6≠{0},且当q≠n时,H^q(M)={0}】

  看到这行算式的瞬间,陈阳的瞳孔微微收缩。

  脸上的表情瞬间浮现了一丝明悟,他压抑着激动的语气说道。

  “……我们就能得到霍奇猜想的证明!”

  那么问题来了。

  该如何证明,在截面曲率的条件下,除了中间的L2同调群其余都为零?

  对话到这里忽然戛然而止了。

  短暂的兴奋之后,两人不约而同地陷入了沉默。

  最后,又不约而同地看向了陆舟。

  注意到两人看向自己,从头到尾一句话都没说的陆舟忽然眨了眨眼,笑着说道。

  “我觉得你们的想法都不错……虽然我没仔细研究过这个课题,但直觉告诉我照着这条路走下去,八成是能够有所收获的。”

  顿了顿,他继续说道。

  “这个思路非常有意思,我的建议是,你们不如一起研究这个课题好了。”

  总感觉陆舟似乎看出来了些什么,却又没有把话说明白。

  佩雷尔曼皱了下眉头,迟疑问道。

  “你不参与吗?这可是个很有意思的难题。”

  何止是有意思。

  霍奇猜想可以说是现代数学发展中抽象特征的集中体现,研究的是数学三大分支——分析、拓扑、代数几何之间的内在联系。

  至于难度,作为千禧难题的它,自然是毋庸置疑的。

  令佩雷尔曼诧异的是,陆舟居然没有表现出很强烈的兴趣。

  陆舟:“……虽然我很感兴趣,但IMCRC那边还有一堆事情等着我去处理,恐怕最近我都没有更多的时间,能够分配到数学这边了。”

  听到这个消息,佩雷尔曼脸上露出了遗憾的表情。

  “那实在是太遗憾了。”

  “虽然我恐怕抽不出时间帮忙,但我郑重的向你推荐陈教授,”拍了拍陈阳的肩膀,陆舟笑着说道,“他是一位优秀的学者,关于他的能力,相信你也是了解的,我就不多吹牛了。总之,你们合作的话,我相信一定能够解决这个问题。”

  虽然对这种绝对的说法表示怀疑,但看了一眼陈教授,佩雷尔曼也没有说什么,只是点了下头,看样子是认可了这位合作伙伴。

  两人都是那种话不多的类型,也没有太多的交流。

  陆舟清了清嗓子之后,看着佩雷尔曼继续说道。

  “说起来,你继续留在这边没问题吗?代数与几何的统一理论已经完成了。”

  “没有问题,”佩雷尔曼摇了摇头,“我和母亲已经打过电话了,她让我去做自己想做的事情,不用太在意她那边。我确实还有想做的事情没有完成,我打算在这里……再待一段时间,把霍奇猜想解决了再回去。”

  虽然很意外佩雷尔曼教授居然会选择留下来,但这种好事陆舟自然是不会拒绝,当即笑着说道。

  “那你还是住在原来那个公寓吧,我会帮你申请延长公寓的使用时间。”

  佩雷尔曼点了点头,感谢道。

  “麻烦你了。”
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